Олимпиадные задачи из источника «1950 год» для 9 класса
Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки.
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
На окружности расположены 20 точек. Эти 20 точек попарно соединяются 10 хордами, не имеющими общих концов и непересекающихся.
Сколькими способами это можно сделать?
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
Докажите, что <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/77911/problem_77911_img_2.gif">
В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большее число сторон может он иметь?
Дано<i>n</i>окружностей:<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,...<i>O</i><sub>n</sub>, проходящих через одну точку<i>O</i>. Вторые точки пересечения<i>O</i><sub>1</sub>с<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>с<i>O</i><sub>3</sub>,...,<i>O</i><sub>3</sub>с<i>O</i><sub>1</sub>обозначим соответственно через<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>. На<i>O</i><sub>1</sub>берем произвольную точку<i>B</i><sub>1</su...
Решить уравнение: <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.
Из пункта <i>A</i> в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом <div align="center"><img src="/storage/problem-media/77904/problem_77904_img_2.gif"></div>Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от<i>A</i>на 6 км?
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника;<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— величины противоположных углов. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>Aa</i> + <i>Bb</i> + <i>Cc</i>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right.$<i>Ab</i> + <i>Ba</i> + <i>Ac</i> + <i>Ca</i> + <i>Bc</i> + <i>Cb</i>$\displaystyle \left.\vphantom{ Ab+Ba+Ac+Ca+Bc+Cb}\right)$. </div>
Даны 3 окружности<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>3</sub>, проходящие через одну точку<i>O</i>. Вторые точки пересечения<i>O</i><sub>1</sub>с<i>O</i><sub>2</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>с<i>O</i><sub>3</sub>и<i>O</i><sub>3</sub>с<i>O</i><sub>1</sub>обозначим соответственно через<i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub>и<i>A</i><sub>3</sub>. На<i>O</i><sub>1</sub>берем произвольную точку<i>B</i><sub>1</sub>. Если<i>B</i>...
Имеется 555 гирь весом: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г,...555 г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.
Имеется шахматная доска с обычной раскраской (границы квадратов считаются окрашенными в чёрный цвет).
Начертить на ней окружность наибольшего радиуса, целиком лежащую на чёрном.