Олимпиадные задачи из источника «1949 год» для 10 класса
Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.
Докажите, что числа вида 2<sup>n</sup>при различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.
Сложить из одинаковых кирпичиков (см. рис.) выпуклый многогранник. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/77896/problem_77896_img_2.gif"></div>
Найти действительные корни уравнения:<div align="CENTER"> <i>x</i><sup>2</sup> + 2<i>ax</i> + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - <i>a</i> + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < <i>a</i> < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$. </div>
Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)
Найти такие целые числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i>, что <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = 2<i>xyzt</i>.
Доказать, что равенство <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i> для целых <i>x, y</i> и <i>z</i> возможно только при <i>x = y = z</i> = 0.
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.