Олимпиадные задачи из источника «1948 год» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями
Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной точки и образующих попарно тупые углы?
Найти все рациональные положительные решения уравнения <i>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup></i> (<i>x ≠ y</i>).
Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство:<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>(<i>R</i>и<i>r</i>— радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство<i>R</i>= 2<i>r</i>имеет место только для правильного треугольника.
Решите в натуральных числах уравнение <i>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup></i> при <i>x ≠ y</i>.
Даны две треугольные пирамиды<i>ABCD</i>и<i>A'BCD</i>с общим основанием<i>BCD</i>, причем точка<i>A'</i>лежит внутри пирамиды<i>ABCD</i>. Доказать, что сумма плоских углов при вершине<i>A'</i>пирамиды<i>A'BCD</i>больше суммы плоских углов при вершине<i>A</i>пирамиды<i>ABCD</i>.
Доказать без помощи таблиц, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2. </div>