Олимпиадные задачи из источника «1999/00»
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...
Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно – 7 суток. Сколько дней плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?
Свежий арбуз весил 10 килограмм и на 99% состоял из воды. На базе арбуз подсох (часть воды испарилась) и в нем стало 98% воды.
Сколько он теперь весит?
Из бочки с водой в бочку с вином перелили стакан воды. Потом передумали и перелили обратно стакан вина. Чего больше: вина в воде или воды в вине?
В одном банке предлагают 80% квартальных (то есть каждые три месяца сумма вклада увеличивается на 80%), а в другом – 900% годовых.
Куда выгоднее вкладывать деньги на длительный срок?
Вчера цены снизили на 25%, а сегодня повысили на 30%. Правда ли, что позавчера утром продукты были дешевле, чем сегодня вечером?
Не встречается ли а) в 100-й строке треугольника Паскаля число 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99? б) в 200-й строке сумма квадратов чисел, стоящих в 100-й строке?
Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.
Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?
Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля
а) больше трёх раз.
б) больше четырёх раз.
Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?
Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:
1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.
2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр.
Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?
Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за каждый отрезок времени длительностью 1 час он проезжал ровно 100 км. Можно ли утверждать, что:
а) поезд ехал с постоянной скоростью?
б) поезд проехал 550 км?
Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошёл навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Сколько времени инженер шёл пешком? Скорости автомобиля и инженера постоянны.
Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?
Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а мимо моста длиной 400 метров – за 30 секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.
Страна называется <i>пятёрочной</i>, если в ней каждый город соединён авиалиниями ровно с пятью другими городами (международных рейсов нет).
а) Нарисуйте схему авиалиний для пятёрочной страны из 10 городов.
б) Сколько авиалиний в пятёрочной стране из 50 городов?
в) Может ли существовать пятёрочная страна, в которой ровно 46 авиалиний?
а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?
В поселке 20 жительниц. 1 марта одна из них узнала интересную новость и сообщила её всем своим подругам. 2 марта те сообщили новость всем своим подругам, и так далее. Может ли так случиться, что:
а) 15 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 18 марта уже все?
б) 25 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 28 марта уже все?
Что больше:
а) <sup>1</sup>/<sub>101</sub> + <sup>1</sup>/<sub>102</sub> + ... + <sup>1</sup>/<sub>199</sub> + <sup>1</sup>/<sub>200</sub> или <sup>1</sup>/<sub>2</sub> ?
б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub>·<sup>3</sup>/<sub>4</sub>·<sup>5</sup>/<sub>6</sub>·...·<sup>97</sup>/<sub>98</sub>·<sup>99</sup>/<sub>100</sub> или <sup>1</sup>/<sub>10</sub> ?
Имеется необычный калькулятор. При включении калькулятора на экране возникает дробь <sup>1</sup>/<sub>1</sub>. При нажатии на кнопку * к числителю дроби, изображенной на экране, прибавляется знаменатель, а знаменатель остается прежним. При нажатии на кнопку $ числитель и знаменатель дроби меняются местами. Других кнопок на калькуляторе нет.
а) Что покажет калькулятор после выполнения следующей последовательности команд: $ * * * * * * * * * * $ ?
Как добиться того, чтобы калькулятор показал:
б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub>, в) <sup>7</sup>/<sub>3</sub>, г) <sup>4</sup>/<sub>11</sub>, д) <sup>57</sup>/<sub>91</sub> ?
Тройкина положила в общую печь три полена, Пятеркина положила пять поленьев, а Бестопливный не положил ни одного. Все трое уверены, что тепла от печки им досталось поровну. В возмещение расходов Бестопливный уплатил соседкам 80 копеек. Как они должны поделить эти деньги?
Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?
Найти две такие обыкновенные дроби – одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13, чтобы они не были равны, но разность между большей и меньшей из них была как можно меньше.