Решение 1:Пусть расстояние от Нижнего до Астрахани равно S. Тогда скорость парохода по течению равна ^S/₅, а против течения – ^S/₇. Следовательно, скорость течения (а значит, и плотов) равна  ½ (^S/₅ – ^S/₇) = ^S/₃₅.

Решение 2:Пусть одновременно из Нижнего вышли плоты и пароход. Относительно плотов пароход двигается со своей собственной скоростью; раз он пять суток отплывал от плотов, то за пять суток к ним вернётся. Следовательно, за 10 суток плоты проплывают столько, сколько пароход за двое суток проходит против течения. Пароход против течения идёт 7 суток, поэтому плоты будут в пути 35 суток.

Решение 3:Скорость течения – среднее арифметическое скорости парохода по течению и скорости парохода против течения, взятого с обратным знаком. Время в пути обратно пропорционально скорости, следовательно, время плотов в пути (в сутках) есть среднее гармоническое чисел 5 и –7.  

35 суток.