Олимпиадные задачи из источника «1996 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите сумму <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
На сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены квадраты <i>ABMN, BCKL, ACPQ</i>. На отрезках <i>NQ</i> и <i>PK</i> построены квадраты <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>. Разность площадей квадратов <i>ABMN</i> и <i>BCKL</i> равна <i>d</i>. Найдите разность площадей квадратов <i>NQZT</i> и <i>PKXY</i>
а) в случае, если угол <i>ABC</i> прямой,
б) в общем случае.
Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.
Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.
На плоскости даны три точки <i>A, B, C</i>. Через точку <i>C</i> проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до <i>A</i> и <i>B</i> было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?