Олимпиадные задачи из источника «1986 год» - сложность 3 с решениями
В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.
На стороне <i>AB</i> квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>K</i>, на стороне <i>CD</i> – точка <i>L</i>, на отрезке <i>KL</i> – точка <i>M</i>. Докажите, что вторая (отличная от <i>M</i>) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников <i>AKM</i> и <i>MLC</i>, лежит на диагонали <i>AC</i>.
Последовательность чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... такова, что <i>x</i><sub>1</sub> = ½ и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_2.gif"> для всякого натурального <i>k</i>.
Найдите целую часть суммы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_3.gif">
Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин. а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, что <i>A</i> выиграла у <i>B, C</i> и <i>D</i>; <i>B</i> выиграла у <i>C</i> и <i>D, C</i> выиграла у <i>D</i>.
В дугу <i>AB</i> окружности вписана ломаная <i>AMB</i> из двух отрезков (<i>AM > MB</i>).
Докажите, что основание перпендикуляра <i>KH</i>, опущенного из середины <i>K</i> дуги <i>AB</i> на отрезок <i>AM</i>, делит ломаную пополам.