Задача
Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин. а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?
Решение
а) Пусть модуль разности показаний часов в любой момент меньше t = 37/20 минуты. Тогда время, затраченное первым шахматистом на первый ход, меньше t, а каждым шахматистом на любой следующий ход – меньше 2t. Стало быть, общая длительность партии меньше 79·2t + t = 159t < 160t = 296 минут, то есть меньше 5 часов. Противоречие. б) Приведём пример партии, в которой модуль разности всё время был меньше 2 мин. Пусть на первый ход первый шахматист потратил τ = 300/158 мин, а далее каждый из шахматистов тратил на свой ход время 2τ, кроме последнего хода второго, на который было потрачено время τ. Тогда после 40 ходов часы каждого показывали 39·2τ + τ = 79τ = 2 ч. 30 мин. При этом в каждый момент разность показаний, очевидно, не превосходила τ < 2 мин.
Ответ
б) Нельзя.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь