Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 2-8 класса - сложность 4 с решениями
Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.
а) <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>5</sub> – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>3</sub><i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>4</sub><i>x</i><sub>5</sub> и <i>x</i><sub>5</sub><i>x</i><sub>1</sub>.
б) Пр...
Даны выпуклый<i>n</i>-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка <i>O</i>внутри его. Докажите, что через точку <i>O</i>нельзя провести более <i>n</i>прямых, каждая из которых делит площадь<i>n</i>-угольника пополам.
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.