Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4» для 8 класса

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

Три равных окружности<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность<i> S </i>, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки<i> M </i>окружности<i> S </i>касательная, проведённая из точки<i> M </i>к одной из трёх окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3, равна сумме касательных, проведённых из точки<i> M </i>к двум другим окружностям.

На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что  <i>AP = BP + CP</i>.