Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Разные задачи на неравенство треугольника» для 8 класса
параграф 4. Разные задачи на неравенство треугольника
НазадНа основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>нашлась точка <i>E</i>, обладающая тем свойством, что периметры треугольников <i>ABE</i>,<i>BCE</i>и <i>CDE</i>равны. Докажите, что тогда <i>BC</i>=<i>AD</i>/2.
Внутри треугольника <i>ABC</i>периметра <i>P</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что <i>P</i>/2 <<i>AO</i>+<i>BO</i>+<i>CO</i><<i>P</i>.
а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.) б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.
Точки <i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>взяты на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>BA</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>BC</i>,<i>CB</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>CA</i>,<i>AC</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>AB</i>, причем 1/2 <$\lambda$< 1. Докажите, что периметр <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>и периметр <i>P</i><sub>1</sub>треугольника <i>A</i><sub>1</sub>&...
Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.
Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>> 5<i>c</i><sup>2</sup>, то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.
В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.
На плоскости даны <i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести <i>n</i> отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.