Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Четырехугольники» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Середины <i>M</i>и <i>N</i>диагоналей <i>AC</i>и <i>BD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>не совпадают. Прямая <i>MN</i>пересекает стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>в точках <i>M</i>₁и <i>N</i>₁. Докажите, что если <i>MM</i>₁=<i>NN</i>₁, то <i>AD</i>|<i>BC</i>.

Два различных параллелограмма <i>ABCD</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырехугольник <i>PQRS</i>(точки <i>A</i>и <i>A</i>₁лежат на стороне <i>PQ</i>, <i>B</i>и <i>B</i>₁ — на <i>QR</i>и т. д.). Докажите, что диагонали четырехугольника параллельны сторонам параллелограммов.

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

На сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>BM</i>:<i>MC</i>=<i>AN</i>:<i>ND</i>=<i>AB</i>:<i>CD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>DC</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>параллельна биссектрисе угла <i>AOD</i>.

В четырехугольнике <i>ABCD</i>стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>равны, причем лучи <i>AB</i>и <i>DC</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AOD</i>.

Угол между сторонами <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равен $\varphi$. Докажите, что <i>AD</i>²=<i>AB</i>²+<i>BC</i>²+<i>CD</i>²- 2(<i>AB</i>^.<i>BC</i>cos <i>B</i>+<i>BC</i>^.<i>CD</i>cos <i>C</i>+<i>CD</i>^.<i>AB</i>cos$\varphi$).