Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Касательная в точке <i>B</i>к описанной окружности <i>S</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>AC</i>в точке <i>K</i>. Из точки <i>K</i>проведена вторая касательная <i>KD</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>BD</i> — симедиана треугольника <i>ABC</i>.

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>. Из вершины <i>C</i> к ней проведена касательная (отличная от <i>CA</i>), и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>B</i> вписана окружность <i>S</i>₂. Из вершины <i>A</i> к <i>S</i>₂ проведена касательная, и в образовавшийся треугольник с вершиной <i>C</i> вписана окружность <i>S</i>₃

и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

Окружность <i>S</i>₁ вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>; окружность <i>S</i>₂ вписана в угол <i>B</i> и касается <i>S</i>₁ (внешним образом); окружность <i>S</i>₃ вписана в угол <i>C</i> и касается <i>S</i>₂; окружность <i>S</i>₄ вписана в угол <i>A</i> и касается <i>S</i>₃ и т. д. Докажите, что окружность <i>S</i>₇ совпадает с <i>S</i>₁.

Окружность радиуса <i>u_a</i> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>, окружность радиуса <i>u_b</i> вписана в угол <i>B</i>; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_2.gif">   равен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_3.gif">  где <i>p</i> – полупериметр треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что  <i>AB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>C = cⁿ</i> : <i>aⁿ,  BC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>A = aⁿ</i> : <i>bⁿ</i>  и  <i>CA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>B = bⁿ</i> : <i>cⁿ</i>  (<i>a, b, c</i> – длины стор...

В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> (или на их продолжениях) взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что  ∠(<i>CC</i>₁, <i>AB</i>) = ∠(<i>AA</i>₁, <i>BC</i>) = ∠(<i>BB</i>₁, <i>CA</i>) = α.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>AA</i>₁...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты с центрами <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>₁, <i>b</i>₁ и <i>c</i>₁ – длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>S</i> и <i>S</i>₁ – площади треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите,...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты <i>ABC</i>₁<i>D</i>₁ и <i>A</i>₂<i>BCD</i>₂.

Докажите, что точка пересечения прямых <i>AD</i>₂ и <i>CD</i>₁ лежит на высоте <i>BH</i>.

Точка <i>E</i> – середина той дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, на которой лежит точка <i>C; C</i>₁ – середина стороны <i>AB</i>. Из точки <i>E</i> опущен перпендикуляр <i>EF</i> на <i>AC</i>. Докажите, что:

  а) прямая <i>C</i>₁<i>F</i> делит пополам периметр треугольника <i>ABC</i>;

  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

а) В треугольниках <i>ABC</i>и <i>A'B'C'</i>равны стороны<i>AC</i>и<i>A'C'</i>, углы при вершинах<i>B</i>и<i>B'</i>и биссектрисы углов<i>B</i>и<i>B'</i>. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник<i>ABC</i>равен треугольнику<i>A'B'C'</i>или треугольнику<i>C'B'A'</i>). б) Через точку<i>D</i>биссектрисы<i>BB</i>₁угла<i>ABC</i>проведены прямые<i>AA</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁и<i>C</i><sub>1</s...

Докажите, что проекции вершины <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой.

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2<i>mn</i>и <i>m</i>²-<i>n</i>², а гипотенуза равна <i>m</i>²+<i>n</i>², где <i>m</i>и <i>n</i> — натуральные числа.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 120^<tt>o</tt>. Докажите, что из отрезков длиной <i>a</i>,<i>b</i>,<i>b</i>+<i>c</i>можно составить треугольник.

а) Докажите, что если угол <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>равен 120^<tt>o</tt>, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. б) В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>A</i>равен 60^<tt>o</tt>; <i>O</i> — центр описанной окружности, <i>H</i> — ортоцентр, <i>I</i> — центр вписанной окружности, а <i>I</i>_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>. Докажите, что <i>IO</i>=<i>IH</i>и <i>I</i>_a<i>O</i>=<i>I</i>_a&...

В треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведены высота <i>CD</i> и биссектриса <i>CF</i>; <i>DK</i> и <i>DL</i> – биссектрисы треугольников <i>BDC</i> и <i>ADC</i>.

Докажите, что <i>CLFK</i> – квадрат.

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.