Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Вспомогательная площадь» для 6-9 класса

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Обозначим расстояния от точки <i>O</i>до сторон <i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника через <i>d</i>_a,<i>d</i>_b,<i>d</i>_c, а расстояния от точки <i>O</i>до вершин <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>через <i>R</i>_a,<i>R</i>_b,<i>R</i>_c. Докажите, что: а) <i>aR</i>_a$\geq$<i>cd</i>_c+<i>bd</i>_b; б) <i>d</i>&lt...

Медианы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>M</i>описанный, то <i>AB</i>=<i>BC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁и на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>K</i>и <i>L</i>так, что <i>AK</i>=<i>BC</i>₁и <i>AL</i>=<i>CB</i>₁. Докажите, что прямая <i>AO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, делит отрезок <i>KL</i>пополам.

На сторонах<i>BC</i>и<i>DC</i>параллелограмма<i>ABCD</i>выбраны точки<i>D</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>BD</i>₁=<i>DB</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и<i>DD</i>₁пересекаются в точке<i>Q</i>. Докажите, что<i>AQ</i>— биссектриса угла<i>BAD</i>.

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (<i>прямая Гаусса</i>).

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри параллелограмма <i>ABCD</i>, проведены прямые <i>PR</i>и <i>QS</i>, параллельные сторонам <i>BC</i>и <i>AB</i>(точки <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>и <i>S</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно). Докажите, что прямые <i>BS</i>,<i>PD</i>и <i>MC</i>пересекаются в одной точке.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.

Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_b/<i>d</i>_c=<i>BX</i>^.<i>AC</i>/(<i>CX</i>^.<i>AB</i>).

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_n. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂взяты точки <i>B</i>₁и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ — точки <i>B</i>₂и <i>D</i>₃и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁,...

Даны (2<i>n</i>- 1)-угольник <i>A</i>₁...<i>A</i>_{2n - 1}и точка <i>O</i>. Прямые <i>A</i>_k<i>O</i>и <i>A</i>_{n + k - 1}<i>A</i>_{n + k}пересекаются в точке <i>B</i>_k. Докажите, что произведение отношений <i>A</i>_{n + k - 1}<i>B</i>_k/<i>A</i>_{n + k}<i>B</i>_k(<i>k</i>= 1,...,<i>n</i>) равно 1.

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>O</i>; прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что: а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$+${\frac{OB_1}{BB_1}}$+${\frac{OC_1}{CC_1}}$= 1; б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$^.${\frac{BA_1}{A_1C}}$^.${\frac{CB_1}{B_1A}}$= 1.

Докажите, что длина биссектрисы <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>равна ${\frac{2bc}{b+c}}$cos${\frac{\alpha }{2}}$.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).