Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Касающиеся окружности» для 2-10 класса

а) Три окружности с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, касающиеся друг друга и прямой <i>l</i>, расположены так, как показано на рис. Пусть <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i> — радиусы окружностей с центрами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Докажите, что 1/$\sqrt{c}$= 1/$\sqrt{a}$+ 1/$\sqrt{b}$. б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — их радиусы, $\alpha$= 1/<i>a</i>,$\beta$= 1/<i>b</i>,$\gamma$= 1/<i>c</i>и $\delta$= 1/<i>d</i>. Докажите, что2($\alpha^{2}{}$+$\beta^{2}{}$+$\gamma^{2}_{}$+$\delta^{2}$...

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄, причем окружности <i>S</i>_iи <i>S</i>_{i + 1}касаются внешним образом для <i>i</i>= 1, 2, 3, 4 (<i>S</i>₅=<i>S</i>₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает окружности с диаметрами <i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>K</i>и <i>L</i>, а окружность с диаметром <i>AB</i> — в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>KM</i>=<i>LN</i>.

Радиусы окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающихся в точке <i>A</i>, равны <i>R</i>и <i>r</i>(<i>R</i>><i>r</i>). Найдите длину касательной, проведенной к окружности <i>S</i>₂из точки <i>B</i>окружности <i>S</i>₁, если известно, что <i>AB</i>=<i>a</i>. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂касаются окружности <i>S</i>внутренним образом в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем одна из точек пересечения окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂лежит на отрезке <i>AB</i>. Докажите, что сумма радиусов окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂равна радиусу окружности <i>S</i>.

Две касающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются внутренним образом окружности радиуса <i>R</i>с центром <i>O</i>. Найдите периметр треугольника <i>OO</i>₁<i>O</i>₂.

Три окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с двумя другими точками касания, пересекают окружность <i>S</i>₃в точках, являющихся концами ее диаметра.

Две окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂с центрами <i>O</i>₁и <i>O</i>₂касаются в точке <i>A</i>. Через точку <i>A</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i>₁в точке <i>A</i>₁и <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₂. Докажите, что <i>O</i>₁<i>A</i>₁||<i>O</i>₂<i>A</i>₂.

Две окружности касаются в точке <i>A</i>. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках <i>C</i>и <i>B</i>. Докажите, что $\angle$<i>CAB</i>= 90^<tt>o</tt>.