Так как$\left(\vphantom{\frac{2n}{n^2+1}}\right.$${\frac{2n}{n^2+1}}$$\left.\vphantom{\frac{2n}{n^2+1}}\right)^{2}{}$+$\left(\vphantom{\frac{n^2-1}{n^2+1} }\right.$${\frac{n^2-1}{n^2+1}}$$\left.\vphantom{\frac{n^2-1}{n^2+1} }\right)^{2}{}$= 1, то существует угол $\varphi$, обладающий тем свойством, чтоsin$\varphi$= 2n/(n²+ 1) и cos$\varphi$= (n²- 1)/(n²+ 1), причем0 < 2N$\varphi$<$\pi$/2 при достаточно большом n. Рассмотрим окружность радиуса Rс центром Oи возьмем на ней точкиA₀,A₁,...,A_{N - 1}так, что$\angle$A₀OA_k= 2k$\varphi$. ТогдаA_iA_j= 2Rsin(|i-j|$\varphi$). Воспользовавшись формуламиsin(m+1)$\varphi$= sin m$\varphi$cos$\varphi$+ sin$\varphi$cos m$\varphi$иcos(m+1)$\varphi$= cos m$\varphi$cos$\varphi$- sin m$\varphi$sin$\varphi$, легко доказать, что числаsin m$\varphi$и cos m$\varphi$рациональны для всех натуральных m. Возьмем в качестве Rнаибольший общий делитель всех знаменателей рациональных чиселsin$\varphi$,..., sin(N-1)$\varphi$. ТогдаA₀,...,A_{N - 1} — требуемая система точек.

Ответ задачи отсутствует