Задача
На плоскости даноn$\ge$3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более nпар точек, расстояние между которыми равно d.
Решение
Назовемдиаметромотрезок длиной d, соединяющий пару данных точек. Концы всех диаметров, выходящих из точки A, лежат на окружности с центром Aи радиусом d. Так как расстояние между любыми двумя точками не превосходит d, концы всех диаметров, выходящих из A, лежат на дуге, угловая величина которой не превосходит60o. Следовательно, если из точки Aвыходят три диаметраAB,ACи AD, то один из концов этих диаметров лежит внутри угла, образованного двумя другими. Пусть для определенности точка Cлежит внутри углаBAD. Докажем, что тогда из точки Cвыходит не более одного диаметра. Предположим, что есть еще диаметрCPи точки Bи Pлежат по разные стороны от прямойAC(рис.). ТогдаABCP — выпуклый четырехугольник, поэтомуAB+CP<AC+BP(см. задачу 9.14), т. е.d+d<d+BP, а значит,BP>d, чего не может быть. В итоге получаем, что либо из каждой точки выходит не более двух диаметров, либо существует точка, из которой выходит не более одного диаметра. Теперь требуемое утверждение можно доказать индукцией по числу точек. Дляn= 3 оно очевидно. Предположим, что утверждение доказано для любой системы из nточек, и докажем его для системы изn+ 1 точки. В этой системе либо есть точка, из которой выходит не более одного диаметра, либо из каждой точки выходит не более двух диаметров. В первом случае отбрасываем эту точку и, воспользовавшись тем, что в оставшейся системе не более nдиаметров, получаем требуемое. Второй случай очевиден.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь