Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Другие вспомогательные раскраски» - сложность 3 с решениями

Картинная галерея представляет собой невыпуклый<i>n</i>-угольник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [<i>n</i>/3] сторожей.

Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

Можно ли шашечную доску размером10×10 замостить плитками размером 1×4?

Выпуклый<i>n</i>-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что <i>n</i>делится на 3.

Из листа клетчатой бумаги размером29×29 клеток вырезано 99 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать еще один такой квадратик.

Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.