Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Изопериметрическое неравенство» для 8 класса - сложность 5 с решениями
параграф 2. Изопериметрическое неравенство
НазадНайдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.
Несамопрересекающаяся ломаная расположена в данной полуплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплоскости. Длина ломаной равна<i>L</i>, а площадь многоугольника, ограниченного ломаной и границей полуплоскости, равна<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$<i>L</i><sup>2</sup>/2$\pi$.
Докажите, что если соответственные стороны выпуклых многоугольников<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>равны, причём многоугольник<i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>вписанный, то его площадь не меньше площади многоугольника<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>.
Докажите, что площадь круга больше площади любой другой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фигуры равна<i>S</i>, а её периметр равен<i>P</i>, то<i>S</i>$\le$<i>P</i><sup>2</sup>/4$\pi$, причём равенство достигается только в случае круга (<i>изопериметрическое неравенство</i>).
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник. б) Докажите, что среди всех выпуклых<i>n</i>-угольников<i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>с данными величинами углов<i>A</i><sub>i</sub>и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный<i>n</i>-угольник.
Докажите, что если выпуклая фигура$\Phi$отлична от круга, то существует фигура$\Phi{^\prime}$, имеющая тот же периметр, что и$\Phi$, но большую площадь.