Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Наименьшее или наибольшее расстояние» - сложность 4-5 с решениями

На плоскости дано <i>n</i>точек и отмечены середины всех отрезков с концами в этих точках. Докажите, что различных отмеченных точек не менее 2<i>n</i>- 3.

На плоскости дано конечное число попарно непараллельных прямых, причем через точку пересечения любых двух из них проходит еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

На плоскости дано конечное число точек, причем любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой (Сильвестр).

Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом <i>k</i>, где 0 <<i>k</i>< 1.