Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 7 класса - сложность 2-4 с решениями
глава 2. Вписанный угол
НазадМногоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>2n</sub>вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при <i>n</i>нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при <i>n</i>четном оставшаяся пара сторон равна по длине.
Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписанный, причем <i>AB</i>||<i>DE</i>и <i>BC</i>||<i>EF</i>. Докажите, что <i>CD</i>||<i>AF</i>.
Две окружности пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Третья окружность с центром<i>P</i>пересекает первую окружность в точках<i>A</i>и<i>B</i>, а вторую — в точках<i>C</i>и<i>D</i>. Докажите, что$\angle$<i>AQD</i>=$\angle$<i>BQC</i>.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>. Из точки <i>M</i>проведены хорды <i>MA</i><sub>1</sub>и <i>MB</i><sub>1</sub>, перпендикулярные прямым <i>NB</i>и <i>NA</i>соответственно. Докажите, что <i>AA</i><sub>1</sub>||<i>BB</i><sub>1</sub>.
Окружность разделена на равные дуги <i>n</i> диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.
Все углы треугольника <i>ABC</i>меньше 120<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120<sup><tt>o</tt></sup>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что если $\angle$<i>CAA</i><sub>1</sub>=$\angle$<i>CBB</i><sub>1</sub>, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.
Диагональ <i>AC</i>квадрата <i>ABCD</i>совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника <i>ACK</i>, причем точки <i>B</i>и <i>K</i>лежат по одну сторону от прямой <i>AC</i>. Докажите, что <i>BK</i>= |<i>AK</i>-<i>CK</i>|/$\sqrt{2}$и <i>DK</i>= (<i>AK</i>+<i>CK</i>)/$\sqrt{2}$.
Прямоугольный треугольник<i>ABC</i>с прямым углом<i>A</i>движется так, что его вершины<i>B</i>и<i>C</i>скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек<i>A</i>является отрезок и найдите его длину.
а) Продолжение биссектрисы угла <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>M</i>;<i>O</i> — центр вписанной окружности, <i>O</i><sub>b</sub> — центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>C</i>,<i>O</i>и <i>O</i><sub>b</sub>лежат на окружности с центром <i>M</i>. б) Точка <i>O</i>, лежащая внутри треугольника <i>ABC</i>, обладает тем свойством, что прямые <i>AO</i>,<i>BO</i>и <i>CO</i>проходят через центры описанных окружностей треугольников <i>BCO</i>,<i>ACO</i>и <i>ABO...