Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды» для 8 класса
параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды
НазадВ треугольнике<i>ABC</i>угол<i>A</i>наименьший. Через вершину<i>A</i>проведена прямая, пересекающая отрезок<i>BC</i>. Она пересекает описанную окружность в точке<i>X</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам<i>AC</i>и<i>AB</i>— в точках<i>B</i><sub>1</sub>и<i>C</i><sub>1</sub>. Прямые<i>BC</i><sub>1</sub>и<i>CB</i><sub>1</sub>пересекаются в точке<i>Y</i>. Докажите, что<i>BY</i>+<i>CY</i>=<i>AX</i>.
По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка <i>K</i>подвижной окружности?
Вершины <i>A</i>и <i>B</i>правильного треугольника <i>ABC</i>лежат на окружности <i>S</i>, а вершина <i>C</i> — внутри этой окружности. Точка <i>D</i>лежит на окружности <i>S</i>, причем <i>BD</i>=<i>AB</i>. Прямая <i>CD</i>пересекает <i>S</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>EC</i>равна радиусу окружности <i>S</i>.
Внутри квадрата<i>ABCD</i>выбрана точка<i>M</i>так, что$\angle$<i>MAC</i>=$\angle$<i>MCD</i>=$\alpha$. Найдите величину угла<i>ABM</i>.
На хорде <i>AB</i> окружности <i>S</i> с центром <i>O</i> взята точка <i>C</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOC</i> пересекает окружность <i>S</i> в точке <i>D</i>.
Докажите, что <i>BC = CD</i>.
Из точки <i>M</i>, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>PQ</i>не зависит от положения точки <i>M</i>.
В окружность вписаны равнобедренные трапеции <i>ABCD</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что <i>AC</i>=<i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
В треугольнике <i>ABC</i> углы при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> равны 40°, <i>BD</i> – биссектриса угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BD + DA = BC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60<sup><tt>o</tt></sup>, биссектрисы <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>OD</i> = <i>OE</i>.