Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Величина угла между двумя хордами» - сложность 2 с решениями

На окружности взяты точки <i>A</i>,<i>C</i>₁,<i>B</i>,<i>A</i>₁,<i>C</i>,<i>B</i>₁в указанном порядке. а) Докажите, что если прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁являются биссектрисами углов треугольника <i>ABC</i>, то они являются высотами треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. б) Докажите, что если прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i><sub&...

Внутри треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>P</i>так, что $\angle$<i>BPC</i>=$\angle$<i>A</i>+ 60^<tt>o</tt>,$\angle$<i>APC</i>=$\angle$<i>B</i>+ 60^<tt>o</tt>и $\angle$<i>APB</i>=$\angle$<i>C</i>+ 60^<tt>o</tt>. Прямые <i>AP</i>,<i>BP</i>и <i>CP</i>пересекают описанную окружность треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>. Докажите, что треугольник <i>A'B'C'</i>правильный.

На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке; <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁ — середины дуг <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно. Докажите, что <i>A</i>₁<i>C</i>₁$\perp$<i>B</i>₁<i>D</i>₁.

Диагонали равнобедренной трапеции <i>ABCD</i>с боковой стороной <i>AB</i>пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что центр <i>O</i>ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника <i>APB</i>.

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60^<tt>o</tt>.