Олимпиадные задачи из источника «глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия» для 7-11 класса - сложность 1 с решениями

На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и прямая <i>l</i>. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников<i>ABC</i>, если точка <i>C</i>движется по прямой <i>l</i>?

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Через точку <i>K</i>проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>, вторую — в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>|<i>CD</i>.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает эти окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки <i>A</i>и <i>B</i>, параллельны.

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.