Олимпиадные задачи из источника «глава 18. Поворот» - сложность 1-2 с решениями
Поворот с центром <i>O</i>переводит прямую <i>l</i><sub>1</sub>в прямую <i>l</i><sub>2</sub>, а точку <i>A</i><sub>1</sub>, лежащую на прямой <i>l</i><sub>1</sub>, — в точку <i>A</i><sub>2</sub>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>l</i><sub>1</sub>и <i>l</i><sub>2</sub>лежит на описанной окружности треугольника<i>A</i><sub>1</sub><i>OA</i><sub>2</sub>.
Даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и окружность <i>S</i>. Постройте на окружности <i>S</i>такие точки <i>C</i>и <i>D</i>, что<i>AC</i>|<i>BD</i>и дуга<i>CD</i>имеет данную величину $\alpha$.
Докажите, что при повороте на угол$\alpha$с центром в начале координат точка с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) переходит в точку<div align="CENTER"> (<i>x</i> cos$\displaystyle \alpha$ - <i>y</i> sin$\displaystyle \alpha$, <i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> cos$\displaystyle \alpha$). </div>
На сторонах<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>построены внешним образом правильные треугольники<i>BCP</i>и <i>CDQ</i>. Докажите, что треугольник<i>APQ</i>правильный.
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники<i>PKM</i>, вершина <i>P</i>которых фиксирована, а вершина <i>K</i>лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин <i>M</i>.
Постройте равносторонний треугольник<i>ABC</i>так, чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
На отрезке<i>AE</i>по одну сторону от него построены равносторонние треугольники<i>ABC</i>и <i>CDE</i>;<i>M</i>и <i>P</i> — середины отрезков<i>AD</i>и <i>BE</i>. Докажите, что треугольник<i>CPM</i>равносторонний.
На сторонах треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены правильные треугольники<i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i>,<i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i>и<i>ABC</i><sub>1</sub>. Докажите, что<i>AA</i><sub>1</sub>=<i>BB</i><sub>1</sub>=<i>CC</i><sub>1</sub>.
На сторонах <i>CB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что периметр треугольника <i>CMK</i> равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла <i>MAK</i>.
Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.
Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.
Докажите, что треугольник<i>ABC</i>является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на60<sup><tt>o</tt></sup>(либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки <i>A</i>вершина <i>B</i>переходит в <i>C</i>.
Докажите, что выпуклый<i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол360<sup><tt>o</tt></sup>/<i>n</i>относительно некоторой точки.
Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.