Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Псевдоскалярное произведение» для 4-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

а) Докажите, что<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) = -<i>S</i>(<i>B</i>,<i>A</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>B</i>,<i>C</i>,<i>A</i>). б) Докажите, что для любых точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>справедливо равенство<i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) =<i>S</i>(<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>B</i>,<i>C</i>) +<i>S</i>(<i>D</i>,<i>C</i>,<i>A</i>).

Пусть<b>a</b>= (<i>a</i>₁,<i>a</i>₂) и <b>b</b>= (<i>b</i>₁,<i>b</i>₂). Докажите, что<b>a</b>$\vee$<b>b</b>=<i>a</i>₁<i>b</i>₂-<i>a</i>₂<i>b</i>₁.

Докажите, что: а)($\lambda$<b>a</b>)$\vee$<b>b</b>=$\lambda$(<b>a</b>$\vee$<b>b</b>); б)<b>a</b>$\vee$(<b>b</b>+<b>c</b>) =<b>a</b>$\vee$<b>b</b>+<b>a</b>$\vee$<b>c</b>.