Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы» для 4-11 класса - сложность 3-5 с решениями
параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
НазадДокажите, что если<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$(cos$\displaystyle \alpha$ + cos$\displaystyle \beta$ + cos$\displaystyle \gamma$), </div>то один из углов треугольника<i>ABC</i>равен60<sup><tt>o</tt></sup>.
а) Докажите, что если для некоторого треугольника <i>p</i>= 2<i>R</i>+<i>r</i>, то этот треугольник прямоугольный. б) Докажите, что если <i>p</i>= 2<i>R</i>sin$\varphi$+<i>rctg</i>($\varphi$/2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 <$\varphi$<$\pi$).
Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что ${\frac{OA^2}{bc}}$+${\frac{OB^2}{ac}}$+${\frac{OC^2}{ab}}$= 1.
Докажите, что <i>a</i>(<i>b</i>+<i>c</i>) = (<i>r</i>+<i>r</i><sub>a</sub>)(4<i>R</i>+<i>r</i>-<i>r</i><sub>a</sub>) и <i>a</i>(<i>b</i>-<i>c</i>) = (<i>r</i><sub>b</sub>-<i>r</i><sub>c</sub>)(4<i>R</i>-<i>r</i><sub>b</sub>-<i>r</i><sub>c</sub>).
Докажите, что ${\frac{1}{r^3}}$-${\frac{1}{r_a^3}}$-${\frac{1}{r_b^3}}$-${\frac{1}{r_c^3}}$=${\frac{12R}{S^2}}$.
Докажите, что <i>r</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>b</sub><i>r</i><sub>c</sub>+<i>r</i><sub>c</sub><i>r</i><sub>a</sub>=<i>p</i><sup>2</sup>.