Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Экстремальные точки треугольника» для 5-8 класса - сложность 2-4 с решениями
параграф 2. Экстремальные точки треугольника
НазадИз точки <i>M</i>, лежащей внутри данного треугольника <i>ABC</i>, опущены перпендикуляры <i>MA</i><sub>1</sub>, <i>MB</i><sub>1</sub>, <i>MC</i><sub>1</sub> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Для каких точек <i>M</i> внутри данного треугольника <i>ABC</i> величина <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/57540/problem_57540_img_2.gif"> принимает наименьшее значение?
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>O</i>. Пусть <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> – расстояния от нее до прямых <i>BC, CA, AB</i>.
При каком положении точки <i>O</i> произведение <i>d<sub>a</sub>d<sub>b</sub>d<sub>c</sub></i> будет наибольшим?
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?
б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?