Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Треугольник» для 3-8 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i>₁, <i>b</i>₁, <i>c</i>₁ подобны тогда и только тогда, когда   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.

Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?

Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.

Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.