Олимпиадные задачи из источника «параграф 12. Неравенства для остроугольных треугольников» - сложность 3 с решениями

Докажите, что треугольник<i>ABC</i>остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>можно выбрать такие внутренние точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, что <i>AA</i>₁=<i>BB</i>₁=<i>CC</i>₁.

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда <i>p</i>> 2<i>R</i>+<i>r</i>.

Докажите, что треугольник со сторонами <i>a</i>,<i>b</i>и <i>c</i>остроугольный тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²> 8<i>R</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁не превосходит половины периметра треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если в остроугольном треугольнике <i>h</i>_a=<i>l</i>_b=<i>m</i>_c, то этот треугольник равносторонний.

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то <i>m</i>_a+<i>m</i>_b+<i>m</i>_c$\geq$4<i>R</i>.

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{l_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{l_c}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sqrt{2}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right.$$\displaystyle {\frac{1}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)$. </div>

Докажите, что для остроугольного треугольника<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{m_a}{h_a}}$ + $\displaystyle {\frac{m_b}{h_b}}$ + $\displaystyle {\frac{m_c}{h_c}}$ $\displaystyle \leq$ 1 + $\displaystyle {\frac{R}{r}}$. </div>