Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 5-7 класса
глава 10. Делимость-2
НазадДоказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Решите в натуральных числах уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².
Решите уравнение в целых числах: <i>x</i>³ + 3 = 4<i>y</i>(<i>y</i> + 1).
Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на <i>m</i> полей вправо или на <i>n</i> полей влево. При каких <i>m</i> и <i>n</i> она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?
Найдите все целые решения уравнения 3<i>x</i> – 12<i>y</i> = 7.
Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.
Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.
Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.
Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на<img width="69" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30640/problem_30640_img_2.gif">(в записи 100 троек).
Существует ли такое трехзначное число<img width="26" height="19" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/30639/problem_30639_img_2.gif">, что<img width="69" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30639/problem_30639_img_3.gif">является квадратом натурального числа?
Сумма цифр трёхзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.
Сумма двух цифр <i>a</i> и <i>b</i> делится на 7. Докажите, что число <span style="text-decoration: overline;"><i>aba</i></span> также делится на 7.
Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифруможно использовать сколько угодно раз) два числа, одно изкоторых в 19 раз больше другого?
Докажите, что разность числа, имеющего нечётное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.
<i>A</i> – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что <i>A</i> не делится на 11.
Пусть <i>a, b, c, d</i> – различные цифры. Докажите, что <span style="text-decoration: overline;"><i>cdcdcdcd</i></span> не делится на <span style="text-decoration: overline;"><i>aabb</i></span>.
Докажите, что число <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a<sub>n</sub>a<sub>n</sub>...a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>1</sub></span> – составное.
Докажите, что число 11...11 (2<i>n</i> единиц) – составное.
Докажите, что <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>...<i>a<sub>n</sub></i></span> = <i>a<sub>n</sub></i> – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + ... + (–1)<sup><i>n</i></sup> (mod 11).
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
Докажите, что если записать в обратном порядке цифрылюбого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.
Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю
а) 3; б) 9.
Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечётная. Докажите, что его последняя цифра – 6.