Пусть  cos 36° = x.   Первый способ. Заметим, что  cos 72° = 2x² – 1.  Кроме того,  cos 36° – cos 72° = 2sin 54° sin 18° = 2cos 36° cos 72°,  то есть

x – (2x² – 1) = 2x(2x² – 1)  ⇔  4x³ + 2x² – 3x – 1 = 0  ⇔  (x + 1)(4x² – 2x – 1) = 0.

  Это уравнение имеет три корня:     Поскольку  cos 36° > 0,  нас устраивает только один из них.

  cos 72° находится из равенства  cos 72° = 2x² – 1.   Второй способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием  BC = 1  и углом при вершине A, равным cos 36°. Проведём биссектрису BK и заметим, что  ∠ABK = ∠A = 36°,  ∠BKC = ∠C = 72°.  Значит,  AK = BK = BC = 1,  а  AB = 2cos 36° = 2x.  По свойству биссектрисы  AB : BC = AK : KC,  то есть  2x = ¹/_2x–1.  Вновь получаем уравнение  4x² – 2x – 1 = 0.

  Кроме того,  BC = 2AB cos 72°,  то есть  2cos 36° cos 72° = 1,  откуда находится cos 72°.   Третий способ. Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE со стороной 1. Его диагонали равны  2cos 36° = 2x.  Пусть диагонали AC и BT пересекаются в точке K. Тогда CDEK – ромб, а AKB – равнобедренный треугольник с углом 36° при основании AB и боковой стороной, равной  2x – 1.  В силу подобия треугольников AKB и ABC, вновь получаем уравнение  ^2x/₁ = ¹/_2x–1.