Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Рациональные и иррациональные числа» - сложность 2 с решениями
параграф 1. Рациональные и иррациональные числа
НазадУпростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
При каких натуральных <i>n</i> число (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> + 1)<sup><i>n</i></sup> – (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60871/problem_60871_img_2.gif"> – 1)<sup><i>n</i></sup> будет целым?
Докажите, что на окружности с центром в точке <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60869/problem_60869_img_2.gif"> лежит не более одной точки целочисленной решетки.
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.
Докажите, что при<i>x</i>≠π<i>n</i>(<i>n</i>– целое) sin <i>x</i>и cos <i>x</i>рациональны тогда и только тогда, когда число<i>tg</i> ${\dfrac{x}{2}}$рационально.
При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i><sub>a</sub>b</i> будет рациональным?
<b>Формула сложного радикала.</b>Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$. </div>
<b>Задача Бхаскары.</b>Упростите выражение<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}$. </div>
Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел: а)${\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$+${\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$+...+${\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$; б)${\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$+${\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$; в)$\sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$-$\sqrt{40\sqrt2+57}$.
Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — различные простые числа. Докажите, что числа$\sqrt{a}$,$\sqrt{b}$,$\sqrt{c}$не могут быть членами одной арифметической прогрессии.
Один из корней уравнения <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0 равен 1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60855/problem_60855_img_2.gif">. Найдите <i>a</i> и <i>b</i>, если известно, что они рациональны.
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>x</i>²<i>y + y</i>³ = 0 не имеет рациональных решений, кроме (0, 0).
Для каких натуральных <i>n</i> число <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> представляется конечной десятичной дробью?
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
Пусть число α задаётся десятичной дробью
а) 0,101001000100001000001...;
б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?
Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью.
Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3)·0,(4); в) 0,(9) – 0,(85).
Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период: <sup>1</sup>/<sub>243</sub> = 0,004115226337448...
Найдите период дроби <sup>1</sup>/<sub>49</sub> = 0,0204081632...
Найдите цифры <i>a</i> и <i>b</i>, для которых <img width="98" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60840/problem_60840_img_2.gif"> = 0,<i>bbbbb</i>...