Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Сравнения» для 3-7 класса

Докажите, что если  6<i>n</i> + 11<i>m</i>  делится на 31, то  <i>n</i> + 7<i>m</i>  также делится на 31.

а) При каких целых <i>n</i> число  5<i>n</i>² + 10<i>n</i> + 8  делится на 3?

б) А при каких на 4?

Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа. Докажите, что

  а) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 3, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 9;

  б) если  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 21, то  <i>a</i>² + <i>b</i>²  делится на 441.

Найдите последнюю цифру числа 7^{7^7⁷}.

Составьте список всевозможных остатков, которые дают числа <i>n</i>² при делении на 3, 4, 5, ..., 9.

В магазине было 6 ящиков, массы которых соответственно 15, 16, 18, 19, 20 и 31 килограммов. Две фирмы приобрели пять ящиков, причём одна из них взяла по массе яблок в два раза больше чем другая. Какой ящик остался в магазине?

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча вырастает 1999 голов. Сможет ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у Змея было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

Разочарованный вкладчик фонда "Нефтьалмазинвест" разорвал акцию на 8 кусков. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из кусков еще на 8, и т.д.

Могло ли у него получиться 2002 куска?

Имеется 100 камней. Два игрока берут по очереди от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берет последний камень.

Определите выигрышную стратегию первого игрока.

Докажите, что если  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>)  и   <i>c ≡ d</i> (mod <i>m</i>),  то

  а)  <i>a + c ≡ b + d</i> (mod <i>m</i>);   б)  <i>ac ≡ bd</i> (mod <i>m</i>).

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.