Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Мультипликативные функции» - сложность 2 с решениями

Даны два натуральных числа <i>m</i> и <i>n</i>. Выписываются все различные делители числа <i>m</i> – числа <i>a, b, ..., k</i> – и все различные делители числа <i>n</i> – числа <i>s, t, ..., z</i>. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  <i>a + b + ... + k = s + t + ... + z</i>  и  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ... + ¹/_<i>k</i> = ¹/_<i>s</i> + ¹/_<i>t</i> + ... + ¹/<sub>&l...

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

  Числа <i>m</i> и <i>n</i> называются <i>дружественными</i>, если сумма собственных делителей числа <i>m</i> равна <i>n</i> и, наоборот, сумма собственных делителей числа <i>n</i> равна <i>m</i>. Другими словами, числа <i>m</i> и <i>n</i> являются дружественными, если  σ(<i>m</i>) – <i>m = n</i>  и  σ(<i>n</i>) – <i>n = m</i>.

  Докажите, что если все три числа  <i>p</i> = 3·2^<i>k</i>–1 – 1,  <i>q</i> = 3·2^<i>k</i> – 1  и  <i>r</i> = 9·2^{2<i>k</i>–1} – 1  – простые, то числа  <i>m</i&gt...

Число <i>n</i> называется <i>совершенным</i>, если  σ(<i>n</i>) = 2<i>n</i>.

Докажите, что если  2^<i>k</i> – 1 = <i>p</i>  – некоторое <i>простое число Мерсенна</i>, то  <i>n</i> = 2^<i>k</i>–1(2^<i>k</i> – 1)  – совершенное число.

Пусть  (<i>m, n</i>) > 1.  Что больше  τ(<i>mn</i>)  или  τ(<i>m</i>)τ(<i>n</i>)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(<i>n</i>).

Докажите мультипликативность функций τ(<i>n</i>) и σ(<i>n</i>).

Найдите натуральное число вида  <i>n</i> = 2^<i>x</i>3^<i>y</i>5^<i>z</i>,  зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

Некоторое натуральное число <i>n</i> имеет два простых делителя. Его квадрат имеет  а) 15;  б) 81 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?

Найдите натуральное число <i>n</i>, зная, что оно имеет два простых делителя и удовлетворяет условиям  τ(<i>n</i>) = 6,  σ(<i>n</i>) = 28.

Пусть τ(<i>n</i>) – количество положительных делителей натурального числа  <i>n</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_2.gif">,  а σ(<i>n</i>)  – их сумма. Докажите равенства:

  а)  τ(<i>n</i>) = (α₁ + 1)...(α_<i>s</i> + 1);   б)  σ(<i>n</i>) = <img width="75" height="57" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_3.gif">·...·<img width="75" height="55" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60537/problem_60537_img_4.gif">.

Для каждого <i>k</i> от 1 до 6 найдите наименьшее натуральное число, которое имеет ровно <i>k</i> различных делителей.

Приведите пример, когда равенство  (<i>a, b, c</i>)[<i>a, b, c</i>] = <i>abc</i>  не выполнено. Каким неравенством всегда будут связаны числа  (<i>a, b, c</i>)[<i>a, b, c</i>]  и <i>abc</i>?

Докажите равенства:

  а)  [<i>a</i>,(<i>a, b</i>)] = <i>a</i>;

  б)  (<i>a</i>, [<i>a, b</i>]) = <i>a</i>;

  в)  <i>abc</i> = [<i>a, b, c</i>](<i>ab, ac, bc</i>);

  г)  <i>abc</i> = (<i>a, b, c</i>)[<i>ab, bc, ac</i>].

Пусть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60532/problem_60532_img_2.gif">   где  <i>p</i>₁, ..., <i>p_s</i> – простые и  α₁, ..., α_<i>s</i>, β₁, ..., β_<i>s</i> ≥ 0.  Докажите равенства:   а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60532/problem_60532_img_3.png">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60532/problem_60532_img_4.gif">   в)  (<i>a, b</i>)[<i>a, b</i>] = <i>ab</i>.

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, для которого 1999! не делится на 34^<i>n</i>.

Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.

Докажите, что число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35713/problem_35713_img_2.gif">  делится на 2^<i>k</i> и не делится на 2^<i>k</i>+1.