Из мультипликативности функций τ(n) и σ(n) следует, что для обснования ответа достаточно проверить неравенства для случая, когда числа m и n – степени одного и того же простого числа. Пусть  m = p^α,  n = p^β.  Тогда (см. задачу 160537)  τ(m)τ(n) = (α + 1)(β + 1) > α + β + 1 = τ(mn);

σ(m)σ(n) > σ(mn)  ⇔  (p^α+1 – 1)(p^β+1 – 1) > (p^α+β+1 – 1)(p – 1)  ⇔  p^α+β+1 + p > p^α+1 + p^β+1  ⇔  p(p^α – 1)(p^β – 1) > 0,  а последнее неравенство очевидно.

τ(mn) < τ(m)τ(n);  σ(mn) < σ(m)σ(n).