Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Простые числа» для 6-7 класса
параграф 1. Простые числа
НазадДоказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.
Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число <i>a<sup>n</sup></i> – 1 простое, то <i>a</i> = 2 и <i>n</i> – простое.
(Числа вида <i>q</i> = 2<sup><i>n</i></sup> – 1 называются <i>числами Мерсенна</i>.)
Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число <i>a<sup>n</sup></i> + 1 простое, то <i>a</i> чётно и <i>n</i> = 2<sup><i>k</i></sup>.
(Числа вида <i>f<sub>k</sub></i> = 2<sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> + 1 называются <i>числами Ферма</i>.)
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно <i>числа Евклида</i>:
<i>e</i><sub>1</sub> = 2, <i>e<sub>n</sub> = e</i><sub>1</sub><i>e</i><sub>2</sub>...<i>e</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1 (<i>n</i> ≥ 2). Все ли числа <i>e<sub>n</sub></i> являются простыми?
Верно ли, что все числа вида <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i> + 1 являются простыми? (<i>p<sub>k</sub></i> – <i>k</i>-е простое число.)
Верно ли, что многочлен <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41 при всех <i>n</i> принимает только простые значения?
Докажите, что при <i>n</i> > 2 числа 2<sup><i>n</i></sup> – 1 и 2<sup><i>n</i></sup> + 1 не могут быть простыми одновременно.
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдутся <i>n</i> подряд идущих натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.
Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.
Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.
Когда натуральное число имеет нечётное количество делителей?
Докажите, что составное число <i>n</i> всегда имеет делитель, больший 1, но не больший <img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60461/problem_60461_img_2.gif">.
Докажите, что множество простых чисел вида <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5 бесконечно.
Докажите, что множество простых чисел вида <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3 бесконечно.
Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.