Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства» для 3-9 класса - сложность 3-4 с решениями
Докажите неравенства:
а) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> ≥ <i>x</i>²<i>yz</i> + <i>xy</i>²<i>z</i> + <i>xyz</i>²;
б) <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ ≥ 3<i>xyz</i>;
в) <i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> + <i>z</i><sup>4</sup> + <i>t</i><sup>4</sup> ≥ 4<i>xyzt</i>;
г) <i>x</i><sup>5</sup> + <i>y</i><sup>5</sup> ≥ <i>x</i>³<i>y</i>² + <i>x</i>²<i>y<...
Выведите из неравенства задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161401">161401</a> а) <i>неравенство Коши-Буняковского</i>: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_2.gif"> б) неравенство <i>между средним арифметическим и средним квадратичным</i>: <img width="98" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_3.gif"> ≤ <img width="114" height="63" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61402/problem_61402_img_4.gif">; в) неравенство <i>между средним арифметическим и средним гармоническим</i>: ...
Докажите неравенство: <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_2.gif"> + ... + <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_3.gif"> ≥ <img width="114" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61401/problem_61401_img_4.gif">.
Значения переменных считаются положительными.
Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>q</i></sub> = 1. Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство <i>ab ≤ <sup>a<sup>p</sup></sup></i>/<i><sub>p</sub> + <sup>b<sup>q</sup></sup></i>/<sub><i>q</i></sub>.
Докажите неравенство (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)...(1 + <i>x</i><sub><i>n</i></sub>) ≥ 2<sup><i>n</i></sup>, где <i>x</i><sub>1</sub>...<i>x<sub>n</sub></i> = 1.
Значения переменных считаются положительными.
Докажите, что при <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0 выполняется неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">
Докажите неравенство для положительных значений переменных: <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).
Докажите неравенство <i>x</i><sup>α</sup><i>y</i><sup>β</sup>≤ α<i>x</i>+ β<i>y</i> для положительных значений переменных при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).