Олимпиадные задачи по теме «Инварианты и полуинварианты» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

В коробке лежат 2011 белых и 2012 чёрных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку чёрный шар. Если они разного цвета, то выкидывают чёрный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли ещё 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку <i>отважной</i>, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – <i>отважным</i>, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что мальчики и девочки на скамейке чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько отважных среди детей на скамейке?

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

На столе стоят 13 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана.

Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

У Ивана-царевича есть два волшебных меча. Первым он может отрубить Змею Горынычу 21 голову. Вторым – 4 головы, но при этом у Змея Горыныча отрастает 2006 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.)

На доске написаны числа 1 и 2. Каждый день научный консультант Выбегалло заменяет два написанных числа на их среднее арифметическое и среднее гармоническое. а) Однажды одним из написанных чисел (каким — неизвестно) оказалось 941664/665857. Каким в этот момент было другое число? б) Будет ли когда-нибудь написано число 35/24?

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой – до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех <b>цифр</b> равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

В вершинах шестиугольника записаны числа 12, 1, 10, 6, 8, 3 (в таком порядке). За один ход разрешено выбрать две соседние вершины и к числам, стоящим в данных вершинах, одновременно прибавить единицу или одновременно вычесть из них единицу. Можно ли получить в итоге шесть чисел в таком порядке: а) 14, 6, 13, 4, 5, 2; б) 6, 17, 14, 3, 15, 2?

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?

Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок – в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше – чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?

На полях <i>A, B</i> и <i>C</i> в левом нижнем углу шахматной доски стоят белые ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить ладьи так, чтобы каждая попала на обозначенное той же буквой поле в правом верхнем углу? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/98541/problem_98541_img_2.gif"></div>

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то векторы   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_2.gif">   и   <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_3.gif">   равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться

  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;

  б) на одной произвольной прямой.  

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i>₁, то  <i>AB = BA</i>₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:

  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;

&nbsp б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).

Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:

  а) левом верхнем,

  б) правом верхнем?