Олимпиадные задачи по теме «Индукция» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 20. Разрешается стереть любые два числа<var>a</var>и<var>b</var>и заменить их суммой<var>ab</var>+<var>a</var>+<var>b</var>. Какое число может получиться после 19 таких операций?

2<i>m</i>-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2<i>m</i>+1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2<i>m</i>-значное число было справедливым. Пример для числа 12345 показан на рисунке. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73628/problem_73628_img_2.gif"></div>

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Вычислите произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60313/problem_60313_img_2.gif">

На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды.

n разбойников делят добычу. У каждого из них свое мнение о ценности той или иной доли добычи, и каждый из них хочет получить не меньше, чем 1/n долю добычи (со своей точки зрения). Придумайте, как разделить добычу между разбойниками.

При каких  <i>n</i> > 3  набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., <i>n</i> граммов можно разложить на три равные по массе кучки?

Доказать, что если несократимая рациональная дробь  ^<i>p</i>/_<i>q</i>  является корнем многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>qx – p</i>)<i>Q</i>(<i>x</i>),  где многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) также имеет целые коэффициенты.

В прямоугольнике 3×<i>n</i> стоят фишки трёх цветов, по <i>n</i> штук каждого цвета.

Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.

В выражении  123*...*9  звёздочки заменяют на минус или плюс.

  a) Может ли получиться 0?

  б) Может ли получиться 1?

  в) Какие числа могут получиться?

Какое из чисел   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30905/problem_30905_img_2.gif">   (10 двоек) или   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30905/problem_30905_img_3.gif">   (9 троек) больше? А если троек не 9, а 8?

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполняется неравенство  3<i>ⁿ > n</i>·2<i>ⁿ</i>.

При каких натуральных <i>n</i> выполняется неравенство  2<i>ⁿ ≥ n</i>³?

<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   (1 + <i>x</i>)^<i>n</i> ≥ 1 + <i>nx</i>.

Докажите, что существует граф с 2<i>n</i> вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., <i>n, n</i>.