Задача
Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.
Решение
Предположим, что утверждение неверно, и рассмотрим многочлен P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an наименьшей степени, для которого это не так. Ясно, что n > 0. Согласно задаче 161013 a0 кратно q: a0 = qb0, поэтому R(x) = P(x) – (qx – p)b0xn–1 – многочлен степени n – 1 с целыми коэффициентами. p/q – корень многочлена R(x), следовательно, по выбору n, R(x) = (qx – p)T(x), где T(x) – многочлен с целыми коэффициентами (если n = 1, то R(x) ≡ T(x) ≡ 0). Значит, P(x) = (qx – p)(b0xn–1 + T(x)). Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь