Олимпиадные задачи по математике
В пятиугольнике <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>5</sub> проведены биссектрисы <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub>, ..., <i>l</i><sub>5</sub> углов <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A</i><sub>5</sub> соответственно. Биссектрисы <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub> пересекаются в точке <i>B</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub> и <i>l</i...
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что если вершины <i>A</i> и <i>C</i> некоторого прямоугольника <i>ABCD</i> лежат на окружности <i>S</i><sub>1</sub>, а вершины <i>B</i> и <i>D</i> – на окружности <i>S</i><sub>2</sub>, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой <i>MN</i>.
Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?