Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические методы» для 3-6 класса - сложность 1 с решениями

Дима увидел в музее странные часы (см. рисунок). Они отличаются от обычных часов тем, что на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы?

(Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116964/problem_116964_img_2.gif"></div>

КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР — трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)

Однажды Миша, Витя и Коля заметили, что принесли в детский сад одинаковые игрушечные машинки. У Миши есть машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Вити есть машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, а у Коли — большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ объясните.

У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?

Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число78887– зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры1и0.

У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётся монета "2 рубля". Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

Четырехзначное число начинается с цифры 6. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 1152 меньше исходного. Найдите исходное число.

На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.

Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами?

Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.

Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.

Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников (см. рисунок). Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?<img src="/storage/problem-media/103890/problem_103890_img_2.gif">

Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте такой разрез, если нет — напишите слово '' нельзя''.<img src="/storage/problem-media/103888/problem_103888_img_2.gif">

Найдите наименьшее четырёхзначное число<tt>СЕЕМ</tt>, для которого существует решение ребусаМЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки:<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>. Расстояние между<i>A</i>и<i>B</i> — 50 км, между<i>A</i>и<i>C</i> — 40 км, между<i>C</i>и<i>D</i> — 25 км, между<i>D</i>и<i>A</i> — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указанием расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.

б) Найдите расстояние между <i>B</i> и <i>C</i> (укажите все возможности).

Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).<img src="/storage/problem-media/103826/problem_103826_img_2.gif">

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''. Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?

В коробке синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?