Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 2-11 класса - сложность 1 с решениями
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Найдите все такие функции <i>f</i>(<i>x</i>), что <i>f</i>(2<i>x</i> + 1) = 4<i>x</i>² + 14<i>x</i> + 7.
Решить уравнение [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.
Решить в натуральных числах уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">
Числовая функция <i>f</i> такова, что для любых <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x + y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>) + 80<i>xy</i>. Найдите <i>f</i>(1), если <i>f</i>(0,25) = 2.
<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...
Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.
Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.
Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>] = [<sup>[α]</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной прямой и непрерывную ровно в одной точке.