Олимпиадные задачи по теме «Производная» для 9 класса - сложность 4 с решениями

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Окружности<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>проведены соответственно касательные<i> l₁ </i>и<i> l₂ </i>. Точки<i> T₁ </i>и<i> T₂ </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>так, что угловые меры дуг<i> T₁A </i>и<i> AT₂ </i>равны (величина дуги...

Положительные числа <i>х</i>₁, ..., <i>х_k</i> удовлетворяют неравенствам   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109199/problem_109199_img_2.gif">

  а) Докажите, что  <i>k</i> > 50.

  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь <i>k</i>.

  в) Найти минимальное <i>k</i>, для которого пример возможен.

Дана функция   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> ,   где трёхчлены  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:

  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;

  2)  <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>₁(<i>f</i>₂(...<i>f</i>_<i>n</i>–1(<i>f_n</i>(<i>x</i>))...)),  где каждая из функций  <i>f_i...

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.

<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>m</i> < <i>n</i>.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73673/problem_73673_img_2.gif">

Дан треугольник со сторонами <i>a, b</i> и <i>c</i>, причём  <i>a ≥ b ≥ c</i>;  <i>x, y</i> и <i>z</i> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что <div align="CENTER"><i>bc + ca – ab < bc</i> cos <i>x + ca</i> cos <i>y + ab</i> cos <i>z</i> ≤ ½ (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²). </div>