Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 8 класса - сложность 1 с решениями

Доказать, что     <img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_2.gif"> <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109151/problem_109151_img_3.gif"></div>

В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем – Саша, и последней – Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена – 6 раз, Саша – 4 раза, причём все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?

Сколькими способами можно разложить девять орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

У людоеда в подвале томятся 25 пленников.

  а) Сколькими способами он может выбрать трёх из них себе на завтрак, обед и ужин? Порядок важен.

  б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

  а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?

  б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?

  в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?

На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева – не пятёрка?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

В США дату принято записывать так: номер месяца, потом номер дня и год. В Европе же сначала идёт число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она написана?

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.

Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с шестью Карабасами и девятью Барабасами. Каждый Барабас знаком с десятью Карабасами и семью Барабасами. Кого в этой стране больше – Карабасов или Барабасов?

В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?

Какие восемь монет нужно взять, чтобы с их помощью можно было бы без сдачи заплатить любую сумму от 1 коп. до 1 руб.?

(В хождении были монеты в 1, 3, 5, 10, 20 и 50 коп.)

В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?

Любую ли сумму из целого числа рублей, больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 руб.? Почему?

В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе?

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Сколько существует таких пар целых чисел <i>x, y</i>, заключённых между 1 и 1000, что  <i>x</i>² + <i>y</i>²  делится на 7.

Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания?

Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65346/problem_65346_img_2.png"></div>

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом <i>s</i>, если

а)  <i>s</i> = 4;   б)  <i>s</i> = 5;   в)  <i>s</i> = 6;   г)  <i>s</i> = 7.

Определение диаграмм Юнга смотри в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=4#diagramma_junga">справочнике</a>.

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

  а) гири можно класть только на одну чашку весов;

  б) гири можно класть на обе чашки весов?

Сколько различных делителей имеют числа    а)  2·3·5·7·11;    б)  2²·3³·5⁵·7⁷·11¹¹ ?