Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 6-10 класса - сложность 4 с решениями

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

На координатной плоскости нарисовано <i>n</i> парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(<i>n</i> – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Изначально на доске были написаны одночленs  1, <i>x, x</i>², ..., <i>xⁿ</i>.  Договорившись заранее, <i>k</i> мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через <i>m</i> минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  <i>S</i>₁ = 1 + <i>x,  S</i>₂ = 1 + <i>x + x</i>²,  <i>S</i>₃ = 1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³,  ...,  <i>S_n</i> = 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>xⁿ</i>.  Докажите...

Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества  {1, 2, 3, ..., 2<i>^k</i>},  а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Назовём компанию <i>k-неразбиваемой</i>, если при любом разбиении её на <i>k</i> групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  <i>a</i> : (1 – <i>a</i>)  по весу, где  0 < <i>a</i> < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение <i>a</i>, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну. Из колпаков с номерами от 1 до 1001 один прячут, а остальные в случайном порядке надевают на мудрецов. Каждый видит только номера на колпаках всех впереди стоящих. Далее мудрецы по порядку от заднего к переднему называют вслух целые числа. Каждое число должно быть от 1 до 1001, причём нельзя называть то, что уже было сказано. Результат теста – число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать.

  а) Могут ли они гарантировать результат более 500?

  б) Могут ли они гарантировать результат не менее 999?

Команда из <i>n</i> школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из <i>k</i> заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:

  а) при  <i>n = k = </i>2;

  б) при произвольных фиксированных <i>n</i> и <i>k</i>?

На плоскости отметили 4<i>n</i> точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых  <i>n</i> + 1  точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7<i>n</i> отрезков.

В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115497/problem_115497_img_2.gif"> </div>

  В королевстве <i>N</i> городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются <i>соседними</i>). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.

  Однажды Король провел такую реформу: каждый из <i>N</i> мэров городов стал снова мэром одного из <i>N</i> городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара сос...

Для каждого простого <i>p</i> найдите наибольшую натуральную степень числа <i>p</i>!, на которую делится число (<i>p</i>²)!.

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

В блицтурнире принимали участие  2<i>n</i> + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее <i>n</i> игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i>  (2 ≤ <i>k ≤ N</i>)  при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2<i>k</i> – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

В некотором государстве было 2004 города, соединённых дорогами так, что из каждого города можно было добраться до любого другого. Известно, что при запрещённом проезде по любой из дорог по-прежнему из каждого города можно было добраться до любого другого. Министр транспорта и министр внутренних дел по очереди вводят на дорогах, пока есть возможность, одностороннее движение (на одной дороге за ход), причём министр, после хода которого из какого-либо города стало невозможно добраться до какого-либо другого, немедленно уходит в отставку. Первым ходит министр транспорта.

Может ли кто-либо из министров добиться отставки другого независимо от его игры?

Расстоянием между числами  <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃<i>a</i>₄<i>a</i>₅</span>  и  <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i>₁<i>b</i>₂<i>b</i>₃<i>b</i>₄<i>b</i>₅</span>  назовём максимальное <i>i</i>, для которого  <i>a_i</i> ≠ <i>b_i</i>.  Все пятизначные числа выписаны друг...

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более <i>N</i> различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2<i>N</i> + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.