Олимпиадные задачи по теме «Теория графов» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?

При каких <i>n</i> можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?

Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.

Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

В основании призмы лежит <i>n</i>-угольник. Требуется раскрасить все 2<i>n</i> её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.

  а) Докажите, что если <i>n</i> делится на 3, то такая раскраска возможна.

  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то <i>n</i> делится на 3.

При каком  <i>n</i> > 1  может случиться так, что в компании из  <i>n</i> + 1  девочек и <i>n</i> мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

а) Может ли случиться, что в компании из 10 девочек и 9 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

б) А если девочек 11, а мальчиков 10?

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.

Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?

Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существует две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково минимальное число хороших пар?

20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.

Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной <i>b</i>, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке <i>A</i>? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что фишки, между которыми 10 или 15 фишек, одинаковы.

Какое наибольшее число фишек может быть?

В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?

В компании из семи мальчиков каждый имеет среди остальных не менее трёх братьев. Докажите, что все семеро – братья.

Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.

Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.

Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

Имеются две страны: <i>Обычная</i> и <i>Зазеркалье</i>. У каждого города в <i>Обычной</i> стране есть "двойник" в <i>Зазеркалье</i>, и наоборот. Однако если в <i>Обычной</i> стране какие-то два города соединены железной дорогой, то в <i>Зазеркалье</i> эти города не соединены, а каждые два несоединённых в <i>Обычной</i> стране города обязательно соединены железной дорогой в <i>Зазеркалье</i>. В <i>Обычной</i> стране девочка Алиса не может проехать из города <i>A</i> в город <i>B</i>, сделав менее двух пересадок. Доказать, что Алиса в <i>Зазеркалье</i> сможет проехать из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок.

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.