Олимпиадные задачи по теме «Геометрия (прочее)» для 6-10 класса

Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найдите объем пирамиды. При всяких ли <i>a</i> и <i>b</i> задача имеет решение ?

Сфера радиуса 3/2 имеет центр в точке <i>N</i>. Из точки <i>K</i>, находящейся на расстоянии <!-- MATH $3\sqrt{5}/2$ --> 3$\sqrt{5}$/2 от центра сферы, проведены две прямые <i>KL</i> и <i>KM</i>, касающиеся сферы в точках <i>L</i> и <i>M</i> соответственно. Найдите объем пирамиды <i>KLMN</i>, если известно, что <i>ML</i> = 2.

Сфера радиуса $\sqrt{5}$ с центром в точке <i>O</i> касается всех сторон треугольника <i>ABC</i>. Точка касания <i>N</i> делит сторону <i>AB</i> пополам. Точка касания <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> так, что <!-- MATH $AM = \frac{1}{2} MC$ --> <i>AM</i> = ${\frac{1}{2}}$<i>MC</i>. Найдите объем пирамиды <i>OABC</i>, если известно, что <!-- MATH $AN = NB = 1$ --> <i>AN</i> = <i>NB</i> = 1.

Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной <i>a</i>, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом <!-- MATH $60^{\circ }$ --> 60^<tt>o</tt>.

Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?

Пусть <i>M</i> - точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, <i>O</i> - произвольная точка пространства. Докажите, что

<!-- MATH \begin{displaymath} OM^{2} = \frac{1}{3} (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2}) - \frac{1}{9} (AB^{2} + BC^{2} + AC^{2}). \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> <i>OM</i>² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(<i>OA</i>² + <i>OB</i>² + <i>OC</i>²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$(<i>AB</i>² + <i>BC</i>² + <i>AC</i>²). </div>

Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдется треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет?