Задача
Сфера радиуса 3/2 имеет центр в точке N. Из точки K, находящейся на расстоянии 3$\sqrt{5}$/2 от центра сферы, проведены две прямые KL и KM, касающиеся сферы в точках L и M соответственно. Найдите объем пирамиды KLMN, если известно, что ML = 2.
Решение
Из прямоугольного треугольника KLN находим, что
KL = $\displaystyle \sqrt{KN^{2} - LN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{45/4 - 9/}$4 = 3.
ПоэтомуKM=KL= 3. В равнобедренных треугольникахLNMиLKMмедианыNPиKPявляются высотами, поэтому
NP2 = $\displaystyle \sqrt{NL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9/4 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{5}$/2,
KP2 = $\displaystyle \sqrt{KL^{2} - LP^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9 - 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$/2,
Значит,S(LNM) =${\frac{1}{2}}$LM . NP=${\frac{1}{2}}$2 . $\sqrt{5}$/2 =$\sqrt{5}$/2.
Пусть KH - высота пирамиды KLMN. Поскольку KL = KM, точка
H равноудалена от точек L и M. Значит, точка H лежит на прямой NP,
причем KH - высота треугольника KNP. Обозначим PH = x. По теореме
Пифагора
KN2 - NH2 = KP2 - PH2,или45/4 - ($\displaystyle \sqrt{5}$/2 + x)2 = 8 - x2,
откудаx= 2/$\sqrt{5}$. Поэтому
KH = $\displaystyle \sqrt{KP^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{8 - 4/5}$ = 6/$\displaystyle \sqrt{5}$.
Следовательно,
V(KLMN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(LNM) . KH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \sqrt{5}$/2) . 6/$\displaystyle \sqrt{5}$ = 1.
Ответ
1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет